# Вторая пачка часть 29

А.М.Данилевским . Этот метод ос¬но¬ван на известном из ли¬ней¬ной алгебры факте [Кры¬лов и др., 1972; Ку¬рош, 1962], что подобные пре¬об¬ра¬зования мат¬ри¬цы А не изменяют ее соб¬ст¬вен¬ного мно¬гочлена. В са-мом деле, если В = S -1АS, то |В -??Е| = |S -1АS - ?S -1ЕS| = |S -1| |А - ?Е| |S| = |А - ?S| , по¬этому, удачно подобрав матрицу подобия, мож¬но при¬вес¬ти А к такой форме, что собственный мно¬¬¬го¬член бу¬дет стро¬ить¬ся только по виду самой мат¬¬¬ри¬цы. А.М. Да¬нилевский пред¬¬ложил при¬во¬дить ис¬ход¬ную мат¬рицу А к ка¬но¬ни¬чес¬кой форме Фро¬¬бе¬ни¬уса Ф = . (1.37) Характеристический полином матрицы Фро¬бе¬ни¬уса есть |Ф - ? Е| = = = ... = (p1 - ?????n-1) - p2 ???n-2) - ... - pn-1?1 - p n = = (-1)n Pn (???. Иными словами, элементы первой строки мат¬ри¬цы Фро¬бе¬¬ниуса (1.37) есть соответствующие ко¬эф¬фи¬¬ци¬ен¬ты ее соб-ственного многочлена (1.34). Ес¬ли Ф по¬лу¬чена из мат¬ри¬цы А подобными пре¬об¬ра¬зо¬ва¬ни¬¬я¬ми, то соб¬ст¬¬вен¬ный мно¬гочлен мат¬ри¬цы А сов¬па¬да¬ет с соб¬ст¬вен¬ным мно¬го¬членом мат¬рицы Ф. Больше то¬го ока¬зы¬ва¬ет¬ся, что най¬ден¬ная мат¬¬рица по¬-добия S в выражении Ф = S-1АS мо¬¬жет быть ис¬поль¬зо¬¬вана для на¬хождения собст¬вен¬¬ных век¬-торов матрицы А [Кры¬¬лов и др., 1972]. Таким образом, основная задача сводится к отыс¬¬ка¬нию мат¬рицы подобия S. A.M. Данилевский в сво¬ем ал¬го¬¬рит¬ме пред¬¬¬¬¬ложил строить матрицу S, на¬¬¬чи¬ная процесс с последней стро¬ки. При этом по¬сле¬до¬ва¬тель¬но, строка за стро¬кой, ис¬ход¬¬ная мат¬рица приводится к форме Фро¬бе¬ни¬у¬са. Рас¬смот¬¬рим эту вы¬чис¬ли¬тельную схе¬му. Предположим, что элемент матрицы аn n-1 ? 0 (если это не так, то прос¬той перестaновкой столбцов можно всегда до¬бить¬ся вы¬полнения условия), тогда разделим на не¬го n(n-1)-й столбец матрицы А. Полученный стол¬бец умно-жим на аni и вычтем из i-го столбца. Про¬делав эту процедуру для i = 1, 2, ..., n-1, n, при¬¬ведем по¬след¬нюю строку к виду Фробениуса. Од¬на¬ко это рав¬носильно умножению матрицы А на матрицу Мn-1 вида

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа