# Вторая пачка часть 238

Здесь введены следующие обозначения: Умножим полученные равенства для разностей треть¬его по¬рядка на квадрат их зна¬ме¬на-телей и по¬лучим: -h1?1?+ h1?2 = h12??1??? ; hn-1??n - hn-1??n-1 = -hn-12?????n?? . Таким образом, для сплайна с заданными вы¬ше гра¬нич¬ны¬ми условиями коэффициенты ?i удов¬¬ле¬тво¬ря¬ют сле¬ду¬ю¬щей системе из n линейных урав¬¬не¬¬ний с n не¬из¬вест¬ными: Последнюю систему из n линейных уравнений с n не¬из¬вес¬тными можно решать методом ис¬клю¬¬че¬¬ния, но однако ес¬ли при решении ис¬поль¬зо¬вать осо¬¬бые свой¬ст¬ва матрицы сис¬темы (она трех¬ди¬а¬го¬наль¬ная, сим-мет¬ричная, для лю¬бо¬го выбора х1< х2< ... < хn не-вы¬рож¬¬денная и диагонально до¬минирующая), то всегда су¬ще¬ствует един¬ствен¬ное ре¬ше¬ние системы. Обозначим это решение через ?1, ??, ..., ?n . Мож¬но так¬же показать, по¬скольку для всех х?, х?, ..., хn мат¬¬ри¬ца ко¬эффициентов хо¬¬рошо обус¬лов¬ле¬на, то Гауссово ис¬¬клю¬чение при¬¬ведет ис¬¬ход¬ную сис¬тему к ленточной фор¬ме: . Здесь вычисляются 1) диагональные элементы ?i: ?? = - h? ; ?i = 2(h i?? + hi) - h2i?? / ?i?? ? ?n = -hn?? - h2n??/ ?n??; 1) правые части матрицы ?i: ?? = h2???????; ?i = (?i????i??) - hi?? ?i?? / ?i??; ?n = -h2n???????n?? - hn???n??/ ?n??, (здесь для всех соотношений i = 2, 3, ..., n-1). Тог¬да искомые??i определяются через обратную под¬¬становку ?n????n????n; ?i?????i?? hi???i+1?????? i для всех i = n - 1, n - 2, ..., 1. Вычислительные схемы, используемые для ре¬ше¬ния сис¬¬¬тем с трехдиагональной матрицей, тра¬ди¬ци¬он¬но на¬зы¬ва¬¬ют методом прогонки. В некоторых случаях по различным причинам пред¬по¬ч¬ти¬тельнее вычислять и сохранять коэф¬фи¬ци¬ен¬ты bi, сi и di для функции s(х), записанной в не¬сколь¬ко ином виде : s(х) = уi + bi (х - хi ) + сi (х - хi)2 + di (х - хi )3 , x ???xi, xi+1], где на каждом подынтервале [хi, хi+1] указанные коэф¬фициенты выражаются через ??i и hi: bi = (уi+1 - уi) / hi - hi (?i+1 + 2?i); сi = 3 ?i; di = (?i+1 - ?i) / hi

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа