# Вторая пачка часть 72

Если исследуемая функция представлена по¬ли¬но¬¬мом n-й степени, то используют метод удаления кор¬¬¬ней: опре¬де¬ля¬ют один корень, и по теореме Ви¬ет¬¬¬та функ¬цию F(х) пред¬ставляют как F(х) = g(х)(х - х1), где x1 - пер¬вый най¬ден¬ный корень, а g(х) - полином сте¬пени (n - 1). Для про¬вер¬ки кратности корня x1 сле¬¬ду¬¬ет подставить в g(х), и если g(x1) = 0, то го¬во¬рят, что x1 является крат¬ным корнем, а F(х) за¬пи¬¬сы¬ва¬ет¬¬ся F(х) = g(х)(х - x1)2, где g(х) - те¬перь по¬ли¬ном сте¬¬пени (n - 2). Следуя этому про¬цес¬¬су, мож¬но уда¬лить все корни, т.е. пред¬ста¬вить . Чтобы погрешность с каждым шагом не уве¬ли¬чи¬¬ва¬лась, а очередной корень определялся с вы¬со¬кой сте¬пенью точности, следует уточнение корня де¬¬лать по F(х), а не по g(х). Это особенно важ¬но, когда удалено мно¬го (больше по¬ло¬ви¬ны) корней. Hа практике пред¬по¬ла¬¬га¬емые корни уточняют раз¬¬лич¬ными спе¬ци¬аль¬ны¬¬ми вычислительными ме¬то¬¬дами. Од¬ним из них можно назвать ме¬тод ди¬хо¬то¬¬мии (би¬¬сек¬ции, по-ло¬вин¬ного деления), от¬но¬ся¬щий¬ся к ите¬¬ра¬ци¬он-ным. Он сос¬то¬ит в по¬стро¬е¬нии по¬¬¬сле¬¬до¬ва¬тель-ности вло¬жен¬ных от¬рез¬ков, на кон¬¬цах ко¬то¬рых F(х) имеет разные зна¬ки. Каж¬дый по¬¬¬сле¬¬ду¬ю¬щий от¬ре¬зок получают де¬ле¬ни¬¬ем по¬по¬лам пре¬ды¬ду¬-ще¬го. Этот процесс по¬стро¬е¬ния по¬¬¬сле¬¬до¬¬ва¬тель-нос¬ти вло¬жен¬ных отрезков по¬зво¬ляет най¬¬¬ти нуль функ¬ции (F(х) = 0) с лю¬бой за¬дан¬ной точ¬¬-ностью. Опишем подробно один шаг итерации. Пусть на k-м ша¬ге найден отрезок [аk , bk], на концах ко¬¬то¬рого F(х) меняет знак. Заметим, что обязательно [аk, bk] ? [а, b]. Разделим те¬перь отрезок [аk, bk] пополам и вы¬де¬¬лим F(?), где ? - се¬ре¬ди¬¬на [аk , bk]. Здесь воз¬мож¬¬ны два слу¬чая: первый, ког¬да F(?) = 0, тогда мы го¬ворим, что ко¬рень найден; вто¬рой, ког¬да F(?) ? 0, тог¬да срав¬¬ниваем знак F(?) с F(аk) и F(bk) и из двух по¬-ло¬¬вин [аk, ?] и [?, bk] вы¬бираем ту, на концах ко-то¬рой функ¬ция меняет свой знак. Та¬ким образом, аk = а , bk = ?, если F(?)F(аk) < 0 , и аk = ? , bk = b, ес¬ли F(?)F(bk) < 0

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа