# Вторая пачка часть 79

3. На¬ходим значение функции в точке х = х1; y = F(х1). 4. Про¬водим касательную в точке х = х1; y = F(х1) (точка А1). 5. Находим точку пересечения касательной с осью 0х (точ¬ку х2), и так далее до вы¬пол¬не¬ния ус¬ловия . За корень ??при¬ни¬маем хn. Для оценки погрешности n-го приближения кор¬¬¬ня [Березин, Жидков, 1962] можно вос¬поль¬зо¬вать¬¬¬ся не¬ра¬венством: , где М2 = sup |F"(х)| на отрезке [а, b], m2 = inf |F'(х)| на от¬рез¬ке [а, b]. Таким образом, если , то . Последнее неравенство означает, что при удач-ном на¬чаль¬ном приближении корня после каж-дой ите¬рации ко¬личество верных цифр удваивается. Сле¬¬до¬¬ва¬тельно, про¬цесс вычисления корня мож¬но пре¬кра¬тить, если . Заметим еще раз, что метод Ньютона эф-фек¬ти¬вен, если выбрано хо¬ро¬шее на¬чальное при-бли¬же¬ние корня и график функ¬ции име¬ет большую кру¬тиз¬¬ну в ок¬рес¬т¬нос¬ти кор¬ня. В этом случае процесс бы¬стро сходится. Ес¬ли же чис-ленное значение F'(х) вблизи корня ма¬ло, т.е. график почти па¬¬¬рал¬ле¬лен оси 0х, то процесс вы-чис¬ле¬ния корня бу¬дет дол¬гим и ошиб¬ки округ¬ле-ния чисел в ма¬¬ши¬не мо¬гут выз¬вать об¬рат¬ный про¬цесс - решение на¬ч¬¬¬нет рас¬хо¬¬дить¬ся. В этом слу¬чае мож¬но по¬со¬ве¬то¬вать вос¬¬поль¬зоваться для уточ¬нения корня дру¬¬ги¬ми бо¬лее эф¬¬фективными методами. Алгоритм решения задачи достаточно прос¬той и тре¬бу¬ет особых пояснений. Процедура NEWTON вы¬чис¬¬ле¬ния при¬¬бли-женного значения корня урав¬нения F(х) = 0 ме-то¬дом Ньютона (ка¬са¬тель¬ных) по формуле (1.19) при¬во¬дит¬ся ниже. Она бы¬ла написана на язы¬ке FORTRAN, [Плис, Сли¬ви¬на, 1983] и пе¬ре¬ве¬де¬¬на ав¬то¬ра¬ми на язык PASCAL. ¬ Формальные параметры процедуры. Входные: x0 (тип real) - начальное приближение; n (тип in¬te¬ger) - мак¬си¬мально допустимое количество итераций; eps (тип real) - зна¬че¬ние ? в условии окончания ите¬¬ра¬ци¬онного про¬цесса; func - имя внеш¬ней под¬про¬грам¬мы-функ¬¬ции (тип real), по которой вы¬¬¬чис¬ля¬ет¬¬¬ся значение функ¬ции F(х); funcp - имя внеш¬ней под¬¬про¬грам¬мы-функции (тип real), по которой вы¬¬¬¬¬чис¬ляется значение про¬¬изводной функ¬ции F'(х)

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа