# Вторая пачка часть 110

. Здесь использована за¬пись первой интерполяционной формулы Нью¬то-на (см. § 2, гл. 2). Раскроем скобки, приведем по¬доб¬ные, по¬лучим (3.1) Заметим, что . Про¬¬диф¬ференцируем f(х) из выражения (3.1) и с уче¬том по¬след¬него замечания получим выражение для пер¬вой про¬изводной (3.2) Продифференцируем последнее выражение еще раз: . (3.3) Здесь учитывалось, что . Аналогично можно определить и следующие про¬¬из¬вод¬ные функции f(х). Но при вычислении про¬¬из¬вод¬ных бо¬лее вы¬соких порядков следует учи¬¬ты¬вать боль¬шее ко¬ли¬чес¬тво чле¬нов ряда Ньютона для обеспечения точ¬ности ре¬зуль¬та¬та. Если производные функции f(х) надо опре¬де¬лить в уз¬лах интерполяции, т.е. в х = хi , то тогда фор¬мулы (3.2), (3.3) для первой и второй производных заметно упро¬ща¬ют¬ся, так как в этом случае q ? 0: f ’(x) = (?1 - ?2/2 + ?3/3 -??4?/4 + ... ) / h ; (3.4) f ’’(x) = (?2 - ?3?+11??4?/12 -5??5?/ 6 + ... ) / h2 . (3.5) Погрешность в определении производных мож¬но при¬ближенно оценить как [Плис, Сливина, 1983] . Для того чтобы получить значения про¬из¬вод¬ных функ¬ции f(х) в точках, расположенных в кон-це таб¬ли¬цы, сле¬ду¬ет, как и в § 2, гл. 2, вос¬поль¬зо¬вать¬ся вто¬рой ин¬тер¬по¬ля¬ци¬он¬ной формулой Нью¬то-на. Пов¬то¬рив ак¬ку¬ратно и по¬сле¬до¬ва¬¬тель¬но все рассуждения, получим для пер¬вой про¬из¬вод¬ной следующее вы¬ра¬же¬ние: (3.6) Если же для равноотстоящей системы узлов хi по¬строить полином Лагранжа, то, записав его в ви¬де , где q = (х - х0)/h - шаг интерполяции; h = хi+1 - хi - рас¬сто¬¬я¬ние между узлами интерполяции; yi = f(хi)- зна¬¬че¬ния функ¬ции f(х) в заданных узлах хi, и c учетом, что dх/dq = h, по¬лучим выражение для пер¬вой про¬¬изводной: . Для оценки погрешности последнего выражения мож¬но воспользоваться формулой, приведенной в ра¬бо¬те Плис и Сливиной (1983) . В заключение отметим, что рассматриваемые здесь фор¬¬мулы численного дифференцирования яв¬ля¬ются ме¬нее точ¬ными по сравнению с ин¬тер¬по¬ля¬ционными (см

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа
привет Краматорск объявления работа