# Вторая пачка часть 68

А.Н.Крылов предложил эффективный ме¬тод по¬стро¬е¬ния характеристического мно¬го-чле¬на, ос¬но¬¬ван¬¬¬ный на при¬ме¬нении ми¬ни¬маль¬но-го мно¬го¬чле¬на мат¬ри¬цы, ан¬ну¬ли¬ру¬ю¬ще¬го за¬дан-ный вектор. Возьмем произвольный вектор с(0) ? 0, раз¬мер¬¬нос¬ти n и составим по¬сле¬до¬ва¬тель¬ность ли¬ней¬но не¬за¬висимых век¬то¬ров по правилу с(1) = А с(0); c(2) = A c(1); ...; c(n) = A c(n -1) . Очевидно, что c(n) бу¬дет являться линейной ком-би¬на¬ци¬ей пре¬ды¬ду¬щих линейно независимых век¬то¬ров. Рас¬писав полученную на последнем шаге си¬с¬те¬му (1.35) где сi - соответствующие координаты вектора с(i), а qi - не¬оп¬ределенные коэффициенты, по¬лу-чим не¬од¬но¬род¬ную сис¬те¬му из n алгебраических урав¬нений. Опре¬де¬литель этой сис¬темы будет отличен от нуля тогда и только тогда, ког-да с(i) об¬ра¬зу¬ют систему линейно независимых век¬то¬ров [Кры¬лов и др., 1972]. Полученные зна-че¬ния qi бу¬¬дут ра¬в¬ны Рi - ко¬эф¬фи¬ци¬ентам ха¬ра¬к-те¬рис¬ти¬чес¬ко¬го урав¬¬нения мат¬рицы А (1.34). Для определения qi систему (1.35) решают ме¬то¬дом Га¬усса (с обязательной проверкой). Если сис¬те¬му не удается привести в ходе решения к тре¬у¬голь¬но¬му виду, то говорят о зависимости по¬стро¬ен¬ной сис¬те¬¬мы век¬торов, и тогда мож¬но записать толь¬ко де¬ли¬¬тель ха¬рак¬те-рис¬тического мно¬¬го¬чле¬на мат¬p¬ицы. Сам многочлен ре¬ша¬ется одним из из¬¬вест¬¬ных ме¬то-дов решения линейных ал¬¬геб¬ра¬и¬чес¬¬ких урав-нений. После того как найдены собственные зна-че¬ния ?i мат¬¬ри¬цы А, ищут собственные векторы мат¬ри¬цы А, что при¬во¬дит к решению следующей од¬но¬род¬¬¬ной сис¬те¬¬мы ли¬ней¬ных ал¬-гебраических урав¬не¬ний: (A - ? E)х = 0. (1.36) Так как ?i являются корнями ми¬ни¬маль-но¬го ан¬ну¬ли¬рующего вектора с(0) многочлена (1.34), то ре¬ше¬ния сис¬темы (1.36) представляют в ви¬де линейной ком¬би¬нации не¬за¬висимых ве¬к-то¬ров с(i) x(k) =??i1 c(n -1) + ?i2 c(n -2) + ... + ?in c(0), где коэффициенты ?ij удовлетворяют ус¬ло¬вию Ax(n)=?k x(n). Умножая x(n) на А и учитывая, что с(j)=Ас(j-1), по¬лучают ?i(?i1c(n-1)+?i2c(n-2)+

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа