# Вторая пачка часть 109

Однако ес¬ли нужны про¬из¬вод¬ные вы¬со¬кого по¬ряд¬¬ка или если значения функ¬¬ции за¬шум¬¬лены, то ре¬¬зультаты мо¬гут быть, мягко го-во¬ря, не¬¬¬точ¬ны¬¬ми. Примером функций, входящих в третью ка¬те¬го¬¬рию, мог¬ли бы служить сложные выражения, со¬с¬тавленные из три-гонометрических или других эле¬¬ментарных функ¬ций. Для задач этого типа сле¬дует извлекать выгоду из ком¬¬плек¬сного рас¬ши¬ре¬ния, ес¬ли оно доступно. Тогда про¬¬из¬вод¬ные функ¬ции f(x) мож¬но выразить через ком¬плек¬сные кон¬-турные ин¬те¬гралы и сглаживающий эф¬фект чис-лен¬но¬го ин¬те¬гри¬рования можно использо¬вать для получения хо¬ро¬¬ших приближений к про¬из-вод¬ным вы¬¬сокого по¬ряд¬ка [Ли¬нес, Моулер, 1967; Ли¬нес, Санде, 1971]. В основном настоящая глава посвящена мето¬дам ра¬бо¬ты с функциями 1, 2 и 3-й категории. Задачи 4-й категории в данной работе не рас¬смат¬¬ри¬ва¬¬ют¬ся, но сведения о дан¬¬ных такого типа мож¬но най¬ти в работах Мо¬зе¬са (1972). Для то¬го что¬бы избежать путаницы с численным ин¬те¬¬гри¬¬ро¬ва¬ни¬ем обыкновенных диф¬фер¬ен¬ци¬аль¬ных урав¬¬¬нений, для численного приближения опре¬де¬лен¬ных ин¬те¬гралов ис-пользуется понятие квадратура. § 1. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ С ПОМО¬ЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ НЬЮТОНА И ЛАГРАНЖА Пусть некоторая функция F(х) задана таблично в n+1 точке, расположенной на ин¬тер¬вале [а, b]. Тре¬бу¬ет¬ся вы¬чис¬лить первую и вторую производные дан¬ной функции в за¬ранее определенных точках. В качестве аппроксимирующей функции вы¬бе¬рем ин¬тер¬по¬ляционный многочлен. Если узлы ин¬теp¬по¬ля¬ции рас¬по¬ло¬же¬ны не равномерно, то таким мно¬¬гочленом мо¬гут быть по¬ли¬но¬мы Лагранжа или Ле¬¬жандра, а если равномерно, то луч¬ше ис¬¬поль¬зо¬вать полином Ньютона, так как он дает мень-шую вы¬¬¬¬чис¬лительную по¬греш¬ность по срав¬не¬нию с дру¬ги¬¬ми. Пусть узлы хi, в которых известны значения функ¬ции F(хi), расположены равномерно на ин-тер¬ва¬ле [а, b], т.е. хi+1-хi = h, где i = 0, 1, ..., n. Тог¬да в ка¬честве ин¬тер¬по¬ли¬ру¬ю¬щей функции Рn(х) вы-бе¬рем по¬лином Ньютона , где q = (х - х0) / h; h = хi+1 - хi

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа