# Вторая пачка часть 41

е. А-1. При вы¬¬полнении де¬ле¬ния на ве¬дущий элемент аii под¬счи¬ты¬вается и оп¬ре-де¬ли¬тель мат¬¬ри¬¬цы А, ко¬торый на¬кап¬¬ли¬ва¬ет¬ся в пе¬ре¬мен¬ной SUМ. Для примера и проверки процедуры на¬хо-дим об¬рат¬ную мат¬рицу методом Гаусса и вы¬чис-ляем dеtА. Мат¬ри¬ца взята из п. 3.1. Ре¬зуль¬та¬ты вы¬чис¬ле¬ний при¬водятся в табл. 1.20. Определитель матрицы равен -0.1020. Таблица 1.20 Обратная матрица Проверка А*А-1 1.5505 -0.1315 -0.5025 0.0941 1.000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.1315 -0.1786 -0.0560 1.3062 0.000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.5025 -0.0560 4.1116 -1.3471 -0.000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0941 1.3062 -1.3471 0.2365 0.000 0.0000 -0.0000 1.0000 4.5. ОБРАЩЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ Для обратной матрицы X = A-1 справедливо ра¬¬вен¬¬ст¬во AX = BDX = E, где D - диагональная мат¬¬¬ри¬ца с элементами d = ?1; E - единичная мат¬ри¬¬ца; B - мат¬¬рица, удов¬ле¬тво¬ря¬ю-щая равенству A = BD, т.е. в не¬котором смысле достаточно близ¬¬¬¬кая к мат¬ри¬це A. Сле¬до¬ва¬тель¬но, для на¬хож¬де¬¬ния мат¬ри¬цы X до¬ста¬точно по¬сле¬до-ва¬тель¬но ре¬¬шить два мат¬рич¬ных урав¬¬не¬ния: BY=E и DX=Y (де¬та¬ли ал¬го¬рит¬ма метода квад-рат¬ного кор¬ня см. в п. 3.4). Об¬¬щий объем вы¬чис¬-ле¬ний при этом со¬ста¬вит ~2n ариф¬ме¬тических опе¬¬¬¬ра¬ций. Уто¬ч¬не¬ния при¬¬бли¬же¬ния к об¬рат¬ной мат¬ри¬¬¬¬це в случае не¬об¬хо¬ди¬мос¬¬ти мож¬¬но проводить, вклю¬¬¬чая в ал¬горитм ите¬ра¬ции Xk = X k -1 (2E - AXk -1). В ра¬¬боте Бахвалова (1973а) до¬¬ка¬за¬но, что при до¬¬ста¬точно хо¬ро¬шем на¬чальном при¬бли¬же-нии, ког¬да вы¬пол¬ня¬ет¬ся неравенство ||E - AX0||<< 1, этот ите¬ра¬ци¬он¬ный про¬цесс быстро схо¬дит¬ся. В работе Фадеева [Фадеев, Фадеева, 1963] пред¬ло¬жен дру¬гой алгоритм обращения симметрической мат¬pи¬цы с не¬ну¬левыми ведущими минорами на ос¬¬но¬¬ве упро¬¬щенного ва¬рианта метода квад¬рат¬ных кор¬¬ней. Этот ал-горитм по¬стро¬ен таким об¬ра¬зом, что в мат¬рице A-1 за¬меняются n(n+1)/2 ди¬а¬го¬наль¬ных и над-диагональных эле¬ментов эле¬мен¬та¬ми мат¬рицы A, при этом под¬ди¬а¬го¬наль¬ные эле¬мен¬ты матрицы A ос¬таются неизменными

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа