# Вторая пачка часть 67

В настоящем параграфе рассматривается не¬сколь¬¬ко эф¬фек¬тивных алгоритмов, реализующих как операции над мат¬¬рицами, так и задачи ре¬ше¬ния полной про¬бле¬мы соб¬ст¬вен-ных значений. Задача определения собственных значений и собст¬вен¬ных векторов матриц имеет большое зна¬че¬ние при ре¬ше¬нии очень широкого спектра за¬дач. Методы ре¬ше¬ния ука¬занной за-дачи по типу примененной вы¬чис¬ли¬тельной схе-мы мож¬но разделить на пря¬мые (точные) и ит¬е-ра¬ци¬он¬ные (при¬бли¬женные). В прямых методах по не¬ко¬то¬ро¬му правилу вы¬чис¬ля¬ют¬ся коэффициенты матрицы с заранее из¬¬вестными свой¬ст¬ва¬ми, а затем собственные зна¬че¬ния находятся как корни ха¬-рак¬теристического мно¬го¬¬члена по какому-ли¬бо из¬вест¬но¬¬му чис¬¬¬лен¬ному методу. После этого опре¬де¬ляются собс¬т¬¬вен¬ные векторы, что считается не очень слож¬ной за¬да¬чей. В итерационных методах коэффициенты ха¬рак¬те¬рис¬ти¬ческого уравнения не вычисляют, а составляют не¬ко¬то¬рые итерационные по¬сле¬до¬ва-тель¬нос¬ти, поз¬во¬ля¬ю¬щие най¬ти одно или несколько, а иног¬да и все соб¬ст¬вен¬ные зна¬че¬ния исходной ма¬три¬цы А. Ите¬¬ра¬ци¬онные ме¬то¬ды почти всег¬¬да бо¬лее тру¬до¬ем¬кие, од¬на¬ко они на-деж¬нее прямых ме¬то¬¬¬дов, так как менее чув¬ст-вительны к ошиб¬кам округ¬ле¬ния. К прямым можно отнести методы Кры-лова, Да¬ни¬лев¬с¬ко¬го, Самуэльсона и др., а к ите-рационным - сте¬пен¬ной и ме¬¬тод Якоби, или, как его еще на¬зы¬ва¬ют, ме¬тод вращений. По¬¬след¬ний метод считается на¬и¬более эф¬фек¬тивным из всех известных [Kpылов и др., 1972]. 4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ ПО МЕТОДУ КРЫЛОВА Пусть А - некоторая квадратная матрица ||аij|| по¬рядка n. Рассмотрим связанное с ней уравнение ||А -??Е|| = 0, определитель которого есть ал¬геб¬ра¬и¬ческий многочлен степени n от ?: ||А -??Е|| = (-1)n (?n - P1?n -1 ??????????Pn -1????Pn? . (1.34) Кор¬нями этого многочлена являются собственные зна¬че¬ния (собственные числа) матрицы А. Эта сис¬тема име¬ет ненулевое решение тогда и только тог¬да, когда ?????????????????n

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа