# Вторая пачка часть 39

Пусть дана неособенная матрица (1.33) и на¬до най¬ти об¬рат¬ную матрицу и detА. Если матрица (1.33) имеет ранг боль¬ше трех, то даже задача нахождения детерминанта не яв¬ля¬ется прос¬той задачей. Надо отметить, что данный метод нель¬зя при¬менять, если исходная матрица особенная. Рас¬смот¬рим ли¬нейную однородную систему урав¬¬не¬ний Ах = 0, при ре¬ше¬нии которой мат¬ри¬ца А за¬ме¬няется верхней треугольной мат¬ри¬цей В: , тогда уравнение преобразуется к виду Вх = 0. Эле¬менты мат¬рицы В получаются из элементов мат¬ри¬цы А по фор¬¬мулам единственного деления (1.26). Но за¬метим, что деление на ведущий эле-мент мат¬ри¬цы эк¬ви¬валентно вы¬носу за опре¬де-ли¬тель со¬мно¬жителя аii, тогда detА = а11 detА(1) = = а11 а22 detА(2) = ... = а11 а22 ...аnn detB, но det В = 1, следовательно det А = а11 а22 ...а nn., (1.47) т.е. определитель матрицы ра¬вен про¬из¬ве¬де¬нию "ве¬ду¬щих" эле¬мен¬тов для соответствующей схе-мы Гаусса. Ес¬ли при приведении мат¬рицы А к тре¬у¬гольному виду ис¬пользовать мо¬ди¬фи¬ци¬ро-ван¬¬¬ный ме¬тод Гаусса с вы¬бо¬ром глав¬ного эле-мен¬та, то фор¬мула (1.47) примет сле¬ду¬ю¬¬щей вид: det А = (-1)k а11 а22 ...а nn , (1.48) где k - количество перестановок строк при ре¬а-ли¬за¬ции ме¬тода. Очень часто метод Гаусса при¬ме¬няют при ре¬ше¬¬нии за¬¬дачи об¬ра¬ще¬ния матриц. Обозначим эле¬мен¬ты об¬рат¬ной матрицы через aij, тогда за-дача об¬ра¬ще¬ния мат¬ри¬цы А сво¬дит¬ся к решению сис¬темы ли¬ней¬ных урав¬нений аij ? ajk = dik, или в мат¬¬ричной за¬пи¬си АА-1 = Е, где Е - еди¬ничная мат¬рица. Решая сис¬те¬му урав¬не¬ний методом Га¬-усса - Жор¬дана, лег¬ко получаем об¬рат¬¬ную матрицу: Правая часть преобразованной матрицы и бу¬дет яв¬лять¬ся искомой обратной матрицей А-1. Как уже указывалось, метод Га¬ус¬¬са является очень рас¬про¬стра¬ненным вы¬чис¬¬ли¬тель¬-ным методом, и по¬э¬то¬му прак¬ти¬чес¬ки лю¬¬¬бая БСП имеет вы¬¬чис¬ли¬тель¬ную про¬це¬ду¬ру, ре¬а¬ли-зу¬ю¬щую метод Гаусса. Рассмотрим од¬¬ну из таких про¬цедур ЕС-1066 для транслятора FOR¬T¬RAN-77, не¬сколь¬ко мо¬ди¬фи¬¬ци¬ро¬ван¬ную для об¬ра¬¬ще-ния матрицы и вы¬¬чис¬¬ле¬ния опре¬де¬¬лителя (пе¬ре-вод тек¬с¬та процедуры на язык PASCAL вы¬пол-нен ав¬то¬рами): PROCEDURE GAUS_OBR (A : MAS; VAR V : MAS; VAR TOL : INTEGER; VAR DET : REAL); TYPE MST = ARRAY [1

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа