# Гамма и Бета функции

Для вычисления Гамма-функции используется аппроксимация ее логарифма. Сама Гамма, а также Бета - вычисляются через него.

Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Gam(z+1)=(z+g+0.5)z+0.5exp(-(z+g+0.5))*Sqrt(2*pi)*[a0+a1/(z+1)+a2/(z+2)+...+an/(z+n)+eps]
Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает 2*10-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции -- логарифма, а не двух -- экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция -- быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации LnGam() -- логарифма гамма-функции -- получается формула:

log(Gam(x))=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+...+C7/(x+8))/x)
Значения коэффициентов Ck -- табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Бета-функция тождественно равна B(z,w)=Gam(z)*Gam(w)/Gam(z+w). Ее вычисление сводится к вычислению трех логарифмов гамма-функции и экспоненте от их комбинации.

Ниже приведена программа, реализующая вычисление логарифма гамма-функции, самой гамма-функции и бета-функции.

    /* Logarithm of Gamma function, Gamma itself and Beta -- for the value
       of argument(s) >0. Double precision.
       Copyright (c) Nikitin V.F. 2000

       Calculate logarithm of gamma-function for x>0
       double GammLn(double x);

       Calculate gamma-function for x>0
       double Gamma(double x);

       Calculate beta-function for x>0, y>0
       double Beta(double x,double y);

       Note: no domain check is implemented.
    */

    /* math.h included for log() and exp() */
    #include <math.h>

    /* the coefficients table */
    #define CN 8
    static double cof[CN]={
           2.5066282746310005,
           1.0000000000190015,
           76.18009172947146,
          -86.50532032941677,
           24.01409824083091,
          -1.231739572450155,
           0.1208650973866179e-2,
          -0.5395239384953e-5,
    };

    /* logarithm of gamma-function */
    double GammLn(double x) {
      double y,ser,*co;
      int j;
      /* calculate the series */
      ser=cof[1]; y=x; co=cof+2;
      for(j=2;j<CN;j++) {
        y+=1.; ser+=(*co)/y; co++;
      }
      /* and the other parts of the function */
      y=x+5.5;
      y-=(x+0.5)*log(y);
      return(-y+log(cof[0]*ser/x));
    }

    /* the gamma-function itself */
    double Gamma(double x) {
      return(exp(GammLn(x)));
    }

    /* the beta function */
    double Beta(double x,double y) {
      return(exp(GammLn(x)+GammLn(y)-GammLn(x+y)));
    }

Скачать текст программы gamma.c

Элементарные функции
Индекс