# Вторая пачка часть 78

031803; F(x) = — 0.0000025773; k = 4 x = 2.960711; F(x) = — 0.0000135768; k = 6 2.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ F(х) = 0 МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ (Ньютона) Если известно начальное приближение ре¬ше¬ния урав¬не¬ния F(х) = 0 на отрезке [а, b], то уточ¬нить ко¬рень мож¬но, как уже говорилось, лю¬бым спо¬со¬бом. Од¬ним из са¬мых эф¬¬фек¬тив¬¬ных и точ¬ных ре¬ше¬ний яв¬¬ля¬ет¬¬¬ся ме¬тод Ньютона (ме-тод ка¬са¬тель¬ных), который сос¬¬¬тоит в по-строении ите¬¬¬ра¬ци¬¬он¬¬ной по¬сле¬до¬ва¬тель¬нос¬ти [Бах¬ва¬лов, 1973б] , схо¬¬дящейся к корню уравнения F(?) = 0. Для при¬¬¬ме¬¬не¬ния этого метода не¬об¬хо¬ди¬мо су¬щест¬во-ва¬ние пер¬¬¬вой и вто¬рой производных и их зна¬ко-по¬¬сто¬ян¬ст¬во на ис¬сле¬ду¬е¬мом от¬ре¬зке. Рассмотрим метод более подробно. Пусть най¬¬де¬¬¬¬но не¬ко¬торое = ?, где ??? [а, b]. При уточ¬¬не¬нии корня по ме¬то¬ду Ньютона полагаем ??= , где - до¬ста¬точ¬но ма¬¬лое число. Тогда, счи¬тая ? кор¬¬нем уравнения, на¬хо¬дим , при¬ме¬нив фор¬му¬лу Тей¬лора: , от¬куда , и окончательно по¬лу¬¬¬-чаем ре¬кур¬рентную формулу . (1.19) Достаточные условия сходимости опре¬¬¬де¬ля¬ют¬ся те¬о¬ре¬мой. Теорема: Пусть F(х) определена и дважды диф¬¬¬¬¬фе¬рен¬цируема на отрезке [а, b], причем F(а)F(b) < 0, а про¬¬из¬вод¬ные F'(х) и F"(х) со¬хра¬ня¬¬ют знак на от¬рез¬ке [а, b]. Тогда, ис¬ходя из на¬чаль¬¬но¬¬¬¬го при¬бли¬же¬¬ния х0 ? [а, b], удов¬лет-во¬ря¬¬ю¬ще¬го не¬¬¬¬равенству F'(х0)F"(х0) > 0, можно по¬стро¬ить по¬¬¬¬¬сле¬до¬ва¬тель¬ность , n = 0, 1, ..., схо¬дящуюся к единственному на отрезке [а, b] ре¬ше¬нию ? урав¬нения F(?) = 0. Если нулевое приближение выбрано дос-та¬точ¬¬но близко к корню, то итерации сходятся очень быстро, со ско¬¬ростью геометрической прогрессии. Алгоритм данного метода очень простой и яс¬ный и имеет, как и метод хорд, графическую ин¬тер¬¬претацию (рис. 1.2). 1. Через точку А0(х, у) с координатами х = b, у = F(b) про¬водим ка¬са¬тель¬¬ную. 2. На¬ходим пересечение касательной с осью 0x (точ¬к¬а х1)

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа