# Вторая пачка часть 31

Тогда в силу теоремы Лапласа о разложении опре¬де¬лителя [Курош, 1962] имеет место ра¬вен¬с¬т¬во (в пра¬вой части индексами обоз¬на¬че¬ны по¬ря¬дки единичных мат¬риц) |A(n-k) - ?E| = |B(n-k)- ?Ek-1| |Ф(n-k) - ?En-k+1|. A так как Ф(n-k) есть матрица Фробениуса, то ее ха¬рак¬те¬рис¬ти¬чес¬кий мно¬го¬член выписывается по виду первой стро¬ки. Ос¬та¬ет¬ся только привести B(n-k) к ка¬но¬ни¬чес¬кому виду Фро-бениуса уже из¬ло¬жен¬ным ме¬то¬дом. Можно подсчитать, что в регулярном случае не¬¬об¬хо¬димо для вычисления ха¬рак¬те¬рис-ти¬чес¬ко¬го мно¬го¬чле¬на вы¬полнить n3 действий, поэтому ме¬тод Да¬ни¬лев¬с¬ко¬го от¬но¬сят к самым эф¬фек¬тив¬ным. Для повышения точности вычислений на каж¬дом ша¬ге преобразований при помощи пе¬ре-ста¬нов¬ки строк или стол¬б¬цов выбирают на¬и-боль¬ший эле¬мент. Для конт¬роля вы¬чис¬ле¬ний на каж¬дом ша¬ге проверяют след мат¬рицы, который не дол¬жен изменяться. Если найдены все собственные значения ?i?мат¬¬рицы А и известна неособенная матрица S, то в методе Да¬ни¬лев¬¬с¬ко¬го, как и в методе Кры-ло¬ва, для определения соб¬¬ст¬вен¬ных значений ма¬т¬¬¬¬¬ри¬¬цы А можно обойтись без ре¬¬шения сис-темы од¬но¬¬род¬ных линейных алгебраичес¬ких урав¬не¬ний A(Ф)X = ?iX и использовать уже из¬¬-вест¬ную мат¬ри¬цу S: S = М n-1 М n-2 ... М2 М1. (1.40) И хотя собственные значения матрицы A(Ф) и А раз¬лич¬ны, они имеют одинаковый спектр [Ку¬рош, 1962], сле¬до¬ва¬тель¬но, между соб-ствен¬ны¬ми значениями мат¬ри¬цы A(Ф) и А су-ществует связь, основанная на пре¬об¬ра¬зовании подобия мат¬¬¬риц [Курош, 1962]. Если вектор X есть собст¬вен¬ный вектор матрицы A(Ф), при¬над-ле¬жа¬щий соб¬ст¬венному зна¬че¬нию ?i, а вектор Y - собст¬вен¬ный вектор подобной ей мат¬ри¬цы Ф = S-1АS, при¬над¬ле¬жа¬щий тому же собственному зна¬¬че¬нию ?i, то вектор SY также будет собственным век¬то¬¬ром мат¬pицы А, со¬от-ветствующим собст¬вен¬ному зна¬че¬нию ?i. В этом утверждении можно легко убедиться. Пусть Y - собственный вектор матрицы Ф, тогда ФY = ? Y ; S-1АS Y =?? Y ; S S-1АS Y = S?? Y; АS Y = S?? Y ; АS Y = ??S Y; A X = ?? X

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа