# Вторая пачка часть 125

408858 e-7 ? 9.47 e-11 (k = 4); 2) = 3.082269 e-2 ? 0.0 (k=4); 3) = 2.500138 e +7 ? 0.0 (k=10); 4) = 0.3862944 ? 0.0 (k=4). Замечание. Х. Татчером в работе (1964) ука¬зы¬валось, что использовавшиеся с успехом многими ис¬сле¬до¬ва¬те¬лями алгоритмы (3.7), (3.8) все же не впол¬не совершенны, так как су¬щес¬тву-ет зна¬чи¬тель¬ный класс под¬ынтегральных функ-ций, для ко¬то¬рых экстра¬по¬ля¬ци¬он¬ные значения (3.1) яв¬ляются ме¬нее точными оцен¬ка¬ми ин¬тег-ра¬ла, чем со¬от¬вет¬с¬т¬вующие суммы фор¬му¬лы тра¬-пе¬ций. Точ¬ность про¬це¬ду¬ры Ромберга, вообще го¬¬во¬¬¬ря, за¬ви¬сит от возможности раз¬ложения по-греш¬¬¬ности ме¬¬то¬да трапеций по степеням hr, на¬-при¬мер в ряд Эй¬ле¬ра - Маклорена. Ко¬эф¬фи¬ци¬ен-ты при h2r такого ря¬да пропорциональны раз¬нос-ти производных на кон¬цах ин¬тервала ин¬те¬гри-ро¬¬ва¬ния f (2r+1)(a) - f (2r+1)(b). Сле¬¬до¬ва¬тель¬но, лю-бой интеграл, для ко¬то¬рого эта разность рав¬на ну¬лю, не сходится при экст¬раполяции по Ром-бер¬гу. Простыми при¬ме¬ра¬ми таких функций яв-ля¬ют¬ся ин¬те¬гралы пе¬¬ри¬о¬ди¬чес¬ких функций при (b - a) >> T, где T- пе¬ри¬¬од функ¬ции, и интегралы, для которых производные равны ну¬-лю на обоих концах интервала, например ин¬тег¬-раль¬ная ап7¬про¬ксимация модифициро¬ван¬ной функ¬ции Хан¬ке¬ля: , где L выбирается настолько большим, что по-греш¬ность ин¬теграла от L до ? можно считать пре¬небрежимо ма¬лой. Алгоритм непригоден так¬же в тех случаях, когда раз¬ложение остаточного чле¬на содержит другие сте¬пе¬ни h или хотя бы од¬ну такую степень. И, наконец, три¬ви¬альным с точ¬¬ки зре¬ния вычислительной математики в¬ля¬ет¬¬ся ис¬клю¬че¬ние, когда подынтегральная функ¬ция f(x) разрывна. § 8. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В ОДНОЙ ПРОЦЕДУРЕ Поскольку в вычислительной математике под¬ход к ре¬шению задач дифференцирования и ин-те¬гри¬¬рования функ¬ций основывается на по¬стро¬е¬нии ин¬тер¬по¬ли¬ру¬ю¬щих многочленов, зачастую бы-вает це¬лесообразным объ¬единить эти задачи в одной про¬цедуре

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа