# Вторая пачка часть 36

499348 0.052693 (нормированные) -0.337413 -0.964153 0.941985 -0.260739 4.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ ЯКОБИ Всякая симметричная матрица A может быть за¬¬писана в виде A = V*DV, (1.43) где V*- ортогональная матрица; D - ди¬а¬го¬наль¬ная с эле¬мен¬тами ?????????????m - собственными зна¬че-ни¬я¬¬ми мат¬ри¬цы A. После умножения (1.43) слева на V* получим AV* = V*D, и ес¬¬ли рас¬писать это матричное ра¬венство по стол¬б¬цам, то ока¬жет¬ся, что каждый i-й столбец мат¬ри¬цы V* является соб-ст¬венным век¬тором, от¬ве¬ча¬ю¬щим соб¬ст¬вен¬ному зна¬че¬нию ?i [Ба¬х¬валов, 1973а]. Пре¬¬об¬¬разуя сис¬те-му (1.43) к ви¬¬ду VAV*= D, по¬стро¬им по¬сле¬до¬ва¬¬тель¬ность ор¬то¬го¬наль¬ных мат¬риц V1, ...., Vn так, чтобы при Wn=Vn...V?, иметь Wn AWn* D. Если теперь обо-значить че¬¬¬рез Vkl(?? мат¬ри¬цу с эле¬мен¬¬та¬ми vkk = vll = cos?? vkl = -vlk = sin??? vii = 1 при i? k, i??, vij = 0 при ос¬таль¬ных (i, j), то она будет ортогональной. Построим последовательность матриц Vn и a(n) = по следующему правилу: А(1) = V? A V?* , ..., A(n) = V nA(n-1) Vn* . (1.44) Матрица строится в зависимости от матрицы A(n) так, что-бы вы¬пол¬ня¬лось неравенство [Бахвалов, 1973а] . (1.45) Выражая каждую матрицу A(n) через пре-ды¬ду¬щую, бу¬дем строить итерационную по¬сле-до¬ва¬тель¬ность A(n) = WAWn*. Согласно оцен¬ке (1.45), имеем . Пусть матрица D(n) получена из A(n) простой за¬меной всех недиагональных элементов на нули. Тогда не¬труд¬но доказать [Бахвалов, 1973а], что , (1.46) откуда вытекает |?n(n) - ?n| ? ?n при всех n, где??i - соб¬ст¬вен¬ные значения матрицы A(n) (значит, и мат¬рицы A), за¬¬ну¬ме¬ро¬ванные в порядке убы¬ва-ния, а ?n(n)?- соб¬ствен¬ные зна¬че¬ния матрицы D(n), т.е. ее диагональные эле¬мен¬ты, также за¬ну¬¬ме¬ро-ван¬ные в порядке убывания; rn - верх¬няя оцен¬ка по¬греш¬ности. Столбцы матрицы W(n) оказываются при-бли¬же¬ни¬я¬ми к собственным векторам матрицы A(n). Все столбцы про¬изведения матриц V(?kl) и Akl, кро¬ме k-го и первого, сов¬па¬дают с соответствующими столб¬цами матрицы A(n), k-й и первый столбцы но¬вой матрицы яв¬ля¬ют¬ся линейными ком¬¬би¬на¬ци¬я¬ми этих же столбцов мат¬рицы A

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа