# Таблица истинности

[править | править код]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 июня 2023 года; проверки требуют 11 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 июня 2023 года; проверки требуют 11 правок.
Перейти к навигации Перейти к поиску

Таблица истинности — таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( t r u e {\displaystyle true} либо f a l s e {\displaystyle false} , 1 {\displaystyle 1} либо 0 {\displaystyle 0} ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но и в логических функциях. Таблицы оказались довольно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре.

## Таблицы истинности для основных двоичных логических функций[править | править код]

Полная таблица истинности для двух элементов

Область определения аргументов и область значения двоичных логических функций принадлежат множеству { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} и принято, что 0 < 1 {\displaystyle 0<1} .

### Двоичные логические функции 1 переменной (унарные)[править | править код]

Идентичность (логическая тождественность)

a {\displaystyle a} | i d ( a ) {\displaystyle \mathrm {id} (a)}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
i d ( a ) {\displaystyle \mathrm {id} (a)} истинно, если a {\displaystyle a} истинно; ложно, если a {\displaystyle a} ложно

Отрицание

(НЕ, NOT, логическая инверсия)

a {\displaystyle a} | ¬ a {\displaystyle \neg a}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
¬ a {\displaystyle \neg a} истинно, если a {\displaystyle a} ложно; ложно, если a {\displaystyle a} истинно

### Двоичные логические функции 2 переменных[править | править код]

Конъюнкция (И, AND, & логическое умножение)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ∧ b {\displaystyle a\land b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
a ∧ b {\displaystyle a\land b} истинно, если истинно a {\displaystyle a} и истинно b {\displaystyle b}

Дизъюнкция

(ИЛИ, OR, логическое сложение)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ∨ b {\displaystyle a\lor b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
a ∨ b {\displaystyle a\lor b} истинно, если истинно a {\displaystyle a} или истинно b {\displaystyle b}

Эквиваленция (EQ, XNOR, логическая равнозначность)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ↔ b {\displaystyle a\leftrightarrow b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
a ↔ b {\displaystyle a\leftrightarrow b} истинно, если a = b {\displaystyle a=b}

Исключающее «или»

(XOR, логическая неравнозначность)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ⊕ b {\displaystyle a\oplus b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
a ⊕ b {\displaystyle a\oplus b} истинно, если a ≠ b {\displaystyle a\neq b}

Импликация (логическое неравенство "не более")

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a → b {\displaystyle a\rightarrow b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
a → b {\displaystyle a\rightarrow b} истинно, если a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b}

Обратная импликация

(логическое неравенство "не менее")

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ← b {\displaystyle a\leftarrow b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
a ← b {\displaystyle a\leftarrow b} истинно, если a ⩾ b {\displaystyle a\geqslant b}

Штрих Шеффера (И-НЕ, NAND, инверсия конъюнкции)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ∣ b {\displaystyle a\mid b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
a ∣ b {\displaystyle a\mid b} истинно, если ложно a {\displaystyle a} или ложно b {\displaystyle b}

Стрелка Пирса

(ИЛИ-НЕ, NOR, инверсия дизъюнкции)

a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | a ↓ b {\displaystyle a\downarrow b}
0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1}
0 {\displaystyle 0} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0} | 0 {\displaystyle 0}
1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | 0 {\displaystyle 0}
a ↓ b {\displaystyle a\downarrow b} истинно, если ложно a {\displaystyle a} и ложно b {\displaystyle b}

### Двоичные логические функции 3 переменных (тернарные)[править | править код]

Условная дизъюнкция
a {\displaystyle a} | b {\displaystyle b} | c {\displaystyle c} | [ a , b , c ] {\displaystyle [a,b,c]}
--- | --- | --- | ---
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 1 | 1
0 | 1 | 0 | 0
0 | 1 | 1 | 0
1 | 0 | 0 | 0
1 | 0 | 1 | 1
1 | 1 | 0 | 1
1 | 1 | 1 | 1

Истинность функции [ a , b , c ] {\displaystyle [a,b,c]} определяется по формуле: "если значение a {\displaystyle a} истинно, то результатом функции будет значение b {\displaystyle b} , иначе - значение c {\displaystyle c} ", что соответствует тернарной условной операции.

Помимо условной дизъюнкции существуют и другие функционально полные тернарные операции.

## Размер двоичной таблицы истинности[править | править код]

Если дано n входных параметров двоичной функции, то можно описать 2n возможных комбинаций входных параметров. Так как функции возвращают значения истина или ложь для каждой комбинации, то количество различных функций (таблиц истинности) от n переменных равны значению двойной экспоненциальной функции 22n.

n | 2n | 22n
--- | --- | ---
0 | 1 | 2 |
1 | 2 | 4 |
2 | 4 | 16 |
3 | 8 | 256 |
4 | 16 | 65,536 |
5 | 32 | 4,294,967,296 | ≈ 4.3⋅109
6 | 64 | 18,446,744,073,709,551,616 | ≈ 1.8⋅1019
7 | 128 | 340 282 366 920 938 500 000 000 000 000 000 000 000 | ≈ 3.4⋅1038
8 | 256 | 115 792 089 237 316 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 | ≈ 1.2⋅1077

Таблицы истинности для функций 3 и более переменных встречаются редко.

## Таблицы истинности для некоторых троичных логических функций[править | править код]

Область определения аргументов и область значения троичных логических функций принадлежат множеству { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} и принято, что 0 < 1 < 2 {\displaystyle 0<1<2} :

x | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0
y | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0
min(x,y) | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0

x | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0
y | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0
max(x,y) | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0

x | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0
y | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0
F2TN22310 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 1

## Программирование[править | править код]

В программировании обозначение логических операций зависит от синтаксиса конкретного языка программирования, однако, зачастую, применяются следующие обозначения:

- Эквиваленция: =, ==
- Отрицание: NOT, НЕ, !
- Конъюнкция: AND, И, &, &&
- Дизъюнкция: OR, ИЛИ, |, ||
- Исключающее «или»: XOR, ^, ~

## См. также[править | править код]

- Идентичность
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Обратная импликация
- Двоичные функции (Булевы)
- Троичные функции
- Алгебра логики
- Битовые операции
- Троичная логика
- Карта Карно

## Примечания[править | править код]

## Литература[править | править код]

- Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. — М.: Наука, 1966. — (Математическая логика и основания математики).

## Ссылки[править | править код]

- Построение таблиц истинности онлайн
- Онлайн инструменты по математической логике

| Для улучшения этой статьи желательно:

- Проставить сноски, внести более точные указания на источники.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Таблица_истинности&oldid=136059460
Категории:

- Булева алгебра
- Математическая логика
- Логика
- Математические таблицы

Скрытые категории:

- Википедия:Статьи с шаблоном Falseredirect
- Википедия:Статьи без сносок
- Википедия:Статьи без ссылок на источники
- Википедия:Статьи без источников (не распределённые по типам)
- Википедия:Статьи с шаблонами недостатков по алфавиту
- Страницы, использующие математические теги в устаревшем формате